Родился в Казани в семье часового мастера. Учился на медицинском факультете Казанского университета, переведен на медицинский факультет БГУ, который окончил в 1926. Хирург Березинской районной больницы, заведующий Березинским районным отделом здравоохранения, 1926-1931; ординатор факультетской хирургической клиники БГУ, одновременно заместитель директора по лечебной работе 1-го клинического городка Минска, 1931-1934; ассистент кафедры факультетской хирургии Минского медицинского института, 1934-1939, 1940-1941. Призван на военную службу, 1939-1940. В период Великой Отечественной войны командир медико-санитарного батальона, ведущий, главный хирург эвакогоспиталей, 1941-1945. Ассистент кафедры госпитальной хирургии Минского медицинского института, 1945-1947. Присуждена ученая степень кандидата медицинских наук, 1946; присвоено ученое звание доцента, 1947; доцент кафедры хирургии Белорусского института усовершенствования врачей, 1947-1948. Доцент кафедры общей хирургии Минского медицинского института, 1948-1956; заведующий кафедрой, 1956-1957; доцент кафедры, 1957-1963. Присуждена ученая степень доктора медицинских наук, 1961; присвоено ученое звание профессора, 1963; заведующий 2-й кафедрой госпитальной хирургии Минского медицинского института, 1963-1970.
Большинство научных работ посвящено изучению эндемического зоба.
Работал над проблемой показаний и противопоказаний к оперативным вмешательствам при тиреотоксикозах; изучал методы их хирургического лечения, 1954; анализировал ближайшие и отдаленные результаты хирургического лечения различных клинических форм зоба и опухолей щитовидной железы, 1958. Активно пропагандировал широкое внедрение оперативного лечения эндемического зоба в БССР. Многолетние экспериментальные исследования и клинические наблюдения обобщил в докторской диссертации «Эндемический зоб в БССР», 1959, и монографии «Хирургическое лечение и патоморфология зоба», 1964. Одновременно работал над вопросами хирургического лечения заболеваний органов брюшной полости.
Обобщил результаты лечения острого аппендицита в 1-й хирургической клинике за 10 лет, 1935; опубликовал ряд работ о диагностике и лечении острого аппендицита, 1965; редактор монографии «Актуальные вопросы острого аппендицита», 1969. Изучал проблемы шока, 1943; новые методы комплексного лечения «огнестрельных остеомиелитов», 1949.
Опубликовал свыше 60 научных работ. Руководил выполнением 4 докторских и 7 кандидатских диссертаций.
Заместитель председателя Белорусского научного общества хирургов. Неоднократно избирался депутатом районных Советов. Награжден боевым орденом, медалями, Почетной грамотой ВС БССР, значком «Отличник здравоохранения».
Похоронен в Минске на кладбище «Северное».
- Александр Абрамович Грегтан: (К 70-летию со дня рождения) //Здравоохр. Белоруссии. — 1969. - No 17
- Александр Абрамович Грейман: [Некролог] //Здравоохр. Белоруссии. — 1970. — М 12. - С. 80.
- Грэйман Аляксандр Абрамавiч (1899—1970), беларускi савецкi вучоны у галiне xipypгii //БелСЭ. - Мн., 1971. - Т. 4. - С. 61-62.
- Грейман Александр Абрамович //История хирургии Республики Беларусь: Метод, материал. — Гродно, 1993. - С. 33.
Кандидатская диссертация, выполненная под руководством профессора С. М. Рубашова, - «Экспериментальные данные к вопросу об эволюции и патогенезе эндемического зоба в БССР», 1946, - основана на материалах обследования эндемических очагов зоба в 56 районах БССР.